已知a+b>0，n∈正整数、且为偶数，证明 b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n>=1/a+1/b

用排序不等式做最快

由a+b>0 不妨设a>b 若b为负数 显然|a|>|b| 又n为正偶数

故a^n>b^n

故1/a^n<1/b^n

又a>b n-1为奇数 故有b^(n-1)<a^(n-1)

故左边为正序和 由正序和大于等于反序和

得

左边>=a^(n-1)/a^n+b^(n-1)/b^n=1/a+1/b=右边

当且仅当a=b时取等号

故不等式成立

背景知识：

排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标 要求的基本不等式。
设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n+……+ a n b n≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。
排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系。可以先令a1>=a2>=a3>=...>=an，确定大小关系.
使用时常构造一组数，使其与原数构成乘积关系，以便求解。适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明。
以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.